ILMU MATEMATIKA: FUNGSI EKSPONEN

FUNGSI EKSPONEN

Fungsi eksponen merupakan fungsi yang sangat penting dan diaplikasikan pada berbagai bidang. Fungsi ini biasanya digunakan untuk menggambarkan pertumbuhan (growth) atau peluruhan (decay). Secara luas fungsi ini digunakan untuk mendeskripsikan fenomena ekonomi dan fisika seperti bunga majemuk (compound interest), pertumbuhan populasi, dan peluruhan zat radioaktif.

Fungsi eksponen f dengan bilangan pokok a adalah fungsi yang memetakan setiap bilangan real x ke a^xdengan a>0 dan a ≠1 dan ditulis sebagai:

Bentuk pemetaan: f : x → a^x, dengan a>0 dan a ≠ 1

Bentuk formula: f(x)= a^x, dengan a>0 dan a ≠ 1

1. Menemukan konsep eksponen

konsep eksponen ditemukan dengan mengamati beberapa masalah nyata berikut dan mencermati beberapa alternatif penyelesaiannya.

Contoh soal:

Seorang peneliti di sebuah lembaga penelitian sedang mengamati pertumbuhan suatu bakteri di sebuah laboratorium mikrobiologi. Pada kultur bakteri tertentu, satu bakteri membelah menjadi r bakteri setiap jam. Hasil pengamatan menunjukkan bahwa jumlah bakteri pada akhir 3 jam adalah 10.000 bakteri dan setelah 2 jam kemudian, jumlah bakteri tersebut menjadi 40.000 bakteri. Peneliti tersebut ingin mengetahui banyak bakteri sebagai hasil pembelahan dan mencari tahu banyak bakteri dalam pada akhir 8 jam.

Penyelesaian:

Diketahui:

Satu bakteri membelah menjadi r bakteri untuk setiap jam.

Jumlah bakteri pada akhir 3 jam adalah 10.000 bakteri dan setelah 2 jam kemudian, jumlahnya menjadi 40.000 bakteri.

Ditanya:

a. Berapa banyak bakteri sebagai hasil pembelahan.

b. Berapa jumlah bakteri dalam pada akhir 8 jam.

Sebagai langkah awal buat tabel laju pertumbuhan bakteri terhadap waktu setiap jam.

Misalkan jumlah bakteri pada awalnya (t = 0) adalah x0. Isilah tabel berikut!

Dari hasil pengamatan data pada tabel di atas, kita dapat membuat hubungan pertumbuhan jumlah bakteri tersebut terhadap perubahan waktu untuk setiap jam dinyatakan sebagai berikut:

x(t) = rt x0.................................................................... (1)

dengan t menyatakan banyak jam, x0 adalah jumlah bakteri saat t = 0 dan r adalah banyak bakteri setelah pembelahan terjadi pada setiap jam.

Pada Masalah-1.1 diketahui bahwa pada akhir 3 jam terdapat 10.000 bakteri dan setelah 5 jam terdapat 40.000 bakteri. Kita substitusikan t = 3 dan t = 5 ke formula (1) di atas, maka diperoleh x3 = r3x0 = 10.000 dan x5 = r5x0 = 40.000

Jadi, peneliti tersebut menemukan bahwa bakteri membelah menjadi 2 bakteri setiap 1 jam

Untuk mendapatkan banyak bakteri pada awalnya atau t = 0, substitusi r = 2 ke persamaan r3x0 = 10.000 sehingga 8x0 = 10.000. Dengan demikian x0 = 1.250.

Subtitusikan x0 = 1.250 ke persamaan (1), pola pertumbuhan bakteri tersebut dinyatakan

Jadi, pada akhir setelah 8 jam, peneliti mendapatkan jumlah bakteri sudah mencapai 320.000 bakteri.

notasi pangkat. Bilangan berpangkat didefinisikan sebagai berikut.

Definisi 1.1

Misalkan a bilangan real dan n bilangan bulat positif. Notasi aⁿ menyatakan hasil kali bilangan a sebanyak n faktor, dapat ditulis aⁿ=

Catatan:

1. Pada Definisi-1.1 di atas, kita sepakati, a1 cukup ditulis a.

2. Hati-hati dengan bilangan pokok a = 0, tidak semua a0 dengan a bilangan real menyatakan 1. Coba tanyakan pada gurumu, mengapa demikian?

3. Jika n adalah sebuah variabel sebagai eksponen dari a, maka perlu dicermati semesta variabel itu. Sebab an = a × a × ... × a sebanyak n faktor, ini hanya berlaku ketika semesta n∈N.

2. pangkat bulat negatif

definisi 1.2

pangkat nol

definisi 1.3

Untuk lebih memahami definisi di atas, perhatikan pola hasil pemangkatan bilangan-bilangan berikut.

23 = 8 33 = 27

22 = 4 32 = 9

21 = 2 31 = 3

20 = 1 30 = 1

Perhatikan hasil pemangkatan 2 dengan 0, dan hasil pemangkatan 3 dengan 0, hasil perpangkatannya adalah 1.

4. sifat-sifat pangkat bulat positif

sifat .1

sifat .2

sifat .1. di atas hanya berkaitan dengan bilangan bulat positif m dan n. Ada 3 kemungkinan, yaitu

(a) m > n

(b) m = n, dan

Sifat 3

Jika a bilangan real dan a ≠ 0, m dan n bilangan bulat positif, maka (a^m)ⁿ=a^mn

Catatan

Dalam beberapa definisi, sifat, dan proses pembuktian sering kita menggunakan simbol logika. Beberapa simbol yang sering kita gunakan dijelaskan sebagai berikut.

a. Simbol ∀ dibaca untuk setiap atau untuk semua. Misalnya, ∀ x∈R, berlaku x2 ≥ 0 (dibaca, untuk setiap x bilangan real, maka x kuadrat lebih dari atau sama dengan nol).

b. Simbol p ⇒ q dibaca jika p, maka q. Misalnya

x = 2 ⇒ x2 = 4